曹军

   1986年出生于湖南衡阳市耒阳市，2014年7月博士毕业于北京师范大学数学科学学院，师从杨大春教授，学习调和分析,特别是函数空间实变理论。2014年进入浙江工业大学数学科学学院(原理学院)工作，2017-2019年赴德国比勒费尔德大学数学系做博士后，合作导师为Alexander Grigor'yan教授，学习度量测度空间上的热核理论。目前为应用数学系教授，分析与几何研究团队成员。

   主要从事基础数学调和分析及其应用方面研究（参看数学家陶哲轩的介绍harmonic analysis.pdf），目前主要关心与函数空间、热核和微分算子相关的一些问题，现主持国家自然科学基金面上项目1项，主持完成国家自然科学基金青年基金1项，主持浙江省自然科学基金杰出青年基金1项。获浙江省数学会2021年科研成果奖一等奖，浙江工业大学第一批“数理青年英才支持计划”重点支持计划支持、浙江工业大学第二批“青年英才支持计划”支持。

   目前指导博士生（学术型）1人（邓超红），协助指导博士生1人（唐黎）。指导硕士生（学术型）2人（王超、俞卓楠，黄俊博，王广正），已毕业4人（豆孝申[金融]、李媛媛 [教育]，高梦瑶 [教育]，张旗顺 [读博]）。

承担课程

2024-2025 (第一学期)

• 《数学分析I》  本科生课程（课程学习通主页），

    时间安排：周一（1-8周，1-2节）教302；周一（1-16周，6-7节）子良A144；周五（1-16周，6-7节）子良A258。

• 《点集拓扑》  本科生课程（课程学习通主页），

    时间安排：周二（1-8周，3-4节）博易B204；周四（1-16周，8-9节）博易B204。

• 《实分析》   硕士生课程，周四（1-16周，10-12节）广A214。

  
  

《调和分析讨论班》      安排如下：每周四上午：9:00-11:00 线上

2023-2024 (第二学期)

• 《Sobolev不等式及其应用》  博士生课程，2024年5月13日-5月27日

• 《调和分析讨论班》      安排如下

  顺序	题目	报告人	时间	地址	备注
  1	相关于薛定谔算子的Hardy空间理论	邓超红	2.27(星期二)，下午2:00-5:00	广知楼B301
  2	区域上BMO空间的Helmholtz分解	唐黎	3.5(星期二)，下午2:00-5:00	广知楼B301
  3	区域网格技术中共形映射的构造	俞卓楠	3.12(星期二)，下午2:00-5:00	广知楼B301
  4	欧氏空间上的广义二进方体	王超	3.19(星期二)，下午2:00-5:00	广知楼B301
  5	非光滑区域上的混合边值问题	张旗顺	3.26(星期二)，下午2:00-5:00	广知楼B301
  6	广义薛定谔算子的基本解估计	邓超红	4.16(星期二)，下午 2:00-5:00	广知楼B301
  7	区域上BMO空间的Helmholtz分解-2	唐黎	4.23(星期二)，下午 2:00-5:00	广知楼B301
  8	薛定谔算子的Agmon度量	邓超红	4.30(星期二)，下午 2:00-5:00	广知楼B305
  9	区域上BMO空间的Helmholtz分解-3	唐黎	5.7 (星期二)，下午 2:00-5:00	广知楼B305
  10	薛定谔算子及其在量子力学整体几何中的应用	邓超红	5.16-5.30 （每周一、二、四、五），下午：1:30-5:00	仁和210
  11	分数次算子	张旗顺	6.3（星期一），下午1:30-5:00	仁和210
  12	Decoupling技术及其应用-1	吴玉荣	6.14（星期五），下午1:30-4:30	仁和210
  13	分数次算子-2	张旗顺	6.18（星期二），下午1:30-4:30	仁和210
  14	分数次算子-3	张旗顺	6.25（星期二），下午1:30-4:30	腾讯会议号： 572-864-432

      
  
  

2023-2024（第一学期）

《数学分析I》    数学系2023级本科生，课程主页

《点集拓扑》    数学系2021级本科生，课程主页

《实分析》     数学系2023级硕士生

《学科前沿讲座》  数学系2023级博士生

2022-2023（第二学期）

《专业导论》        数学系2022级本科生

《数学分析选讲》     数学系2019级本科生

《研究生论文写作》    数学系2022级硕士生

2021-2022（第一学期）

《数学分析I》        数学系2022级本科生

《点集拓扑》        数学系2020级本科生

主办学术会议：

● 2024杭州热核及其相关问题研讨会 

● 2023杭州调和分析及其应应会议 

● 2021杭州调和分析及其应用研讨会

研究领域：

研究领域为调和分析及其应用，主要为如下三个方向：

1. 与算子相关的调和分析。这一方向起源于变系数调和分析的发展，其研究动机之一为对著名的Kato平方根问题的解决。1953年日本数学家T. Kato提出猜想：一个复系数的椭圆算子的平方根等于Sobolev空间W^{1,2}。这一猜想于2002年被法国数学家P. Auscher等五位数学家合力解决。在这些工作中人们认识到经典的调和分析中由Calderón-Zymund创立的奇异积分C-Z理论本质上是依赖于Laplace算子的。为了处理与更一般的微分算子（例如椭圆算子、薛定谔算子等）相关的问题，与算子相关的调和分析便迅速发展起来。从进入北师大读研期间，主要关注这一方向的发展，目前在这一方向发表的论文如下。

● Gaussian estimates for heat kernels of higher order Schrödinger operators with potentials in generalized Schechter classes, with Liu, Yu; Yang, Dachun; Zhang, Chao J. Lond. Math. Soc. (2) 106 (2022), no. 3, 2136–2192. 

●Weighted local Orlicz-Hardy spaces on domains and their applications in inhomogeneous Dirichlet and Neumann problems，with Chang, Der-Chen; Yang, Dachun; Yang, Sibei, Trans. Amer. Math. Soc. 365 (2013), no. 9, 4729–4809. 

● Local Hardy spaces associated with inhomogeneous higher order elliptic operators, with Mayboroda, Svitlana; Yang, Dachun Anal. Appl. (Singap.) 15 (2017), no. 2, 137–224. 

● Maximal function characterizations of Hardy spaces associated to homogeneous higher order elliptic operators, with Mayboroda, Svitlana; Yang, Dachun Forum Math. 28 (2016), no. 5, 823–856. 

● Hardy spaces  HpL(Rn)  associated with operators satisfying  k -Davies-Gaffney estimates , with Yang, DaChun Sci. China Math. 55 (2012), no. 7, 1403–1440. 

● Non-tangential maximal function characterizations of Hardy spaces associated with degenerate elliptic operators, with Zhang, Junqiang; Jiang, Renjin; Yang, Dachun Canad. J. Math. 67 (2015), no. 5, 1161–1200. 

● Hardy spaces associated with a pair of commuting operator, with; Fu Zunwei; Jiang, Renjin; Yang, Dachun Forum Math. 27 (2015), no. 5, 2775–2824. 

● Weak Hardy spaces  WHpL(Rn)  associated to operators satisfying  k -Davies-Gaffney estimates, with Chang, Der-Chen; Wu, Huoxiong; Yang, Dachun J. Nonlinear Convex Anal. 16 (2015), no. 7, 1205–1255. 

● Estimates for second-order Riesz transforms associated with magnetic Schrödinger operators on Musielak-Orlicz-Hardy spaces, with Chang, Der-Chen; Yang, Dachun; Yang, Sibei Appl. Anal. 93 (2014), no. 11, 2519–2545. 

● Boundedness of second order Riesz transforms associated to Schrödinger operators on Musielak-Orlicz-Hardy space, with Chang, Der-Chen; Yang, Dachun; Yang, Sibei Commun. Pure Appl. Anal. 13 (2014), no. 4, 1435–1463. 

● Musielak-Orlicz-Hardy spaces associated with operators satisfying reinforced off-diagonal estimates , with Bui, The Anh; Ky, Luong Dang; Yang, Dachun; Yang, Sibei Anal. Geom. Metr. Spaces 1 (2013), 69–129. 

● Weighted Hardy spaces associated with operators satisfying reinforced off-diagonal estimates, with The Anh Bui; Ky, Luong Dang; Yang, Dachun; Yang, Sibei Taiwanese J. Math. 17 (2013), no. 4, 1127–1166. 

● Boundedness of generalized Riesz transforms on Orlicz-Hardy spaces associated to operators , with Chang, Der-Chen; Yang, Dachun; Yang, Sibei Integral Equations Operator Theory 76 (2013), no. 2, 225–283. 

● Endpoint boundedness of Riesz transforms on Hardy spaces associated with operators, with Yang, Dachun; Yang, Sibei Rev. Mat. Complut. 26 (2013), no. 1, 99–114. 

● Hardy spaces  H1L(Rn)  associated to Schrödinger type operators  (−Δ)2+V2, with Liu, Yu; Yang, Dachun Houston J. Math. 36 (2010), no. 4, 1067–1095.

2. 经典函数空间中问题。函数空间是调和分析中的一个核心研究领域，其基本的观点便是通过为数学与物理中的相关问题提供工作空间，从而将相关问题转化为相应算子在合适的函数空间中的有界性问题。函数空间理论在经过德国Jena学派 H. Triebel等人的发展形成体系，并在国内由北师大杨大春教授及其合作者进一步发展成熟。一方面在经典调和分析里面目前仍有很多重要的问题尚未解决，另一方面其它学科方向产生的进展也源源不断地为这个领域带来新的问题。从读博开始关注这一方向的发展，目前在这一方向发表的论文如下。

●   Fractional Besov spaces and Hardy inequalities on bounded non-smooth domains Journal, with Jin, Yongyang; Yu, Zhuonan; Zhang, Qishun. Annali di Matematica Pura ed Applicata, (1) 203, 2024.

●   Multiplication between Hardy spaces and their dual spaces, with Bonami, Aline; Ky, Luong Dang; Liu, Liguang; Yang, Dachun; Yuan, Wen. J. Math. Pures Appl. (9) 131 (2019), 130–170. 

●   Riesz transform characterizations of Musielak-Orlicz-Hardy spaces, with Chang, Der-Chen; Yang, Dachun; Yang, Sibei Trans. Amer. Math. Soc. 368 (2016), no. 10, 6979–7018. 

●   Intrinsic structures of certain Musielak-Orlicz Hardy spaces, with Liu, Liguang; Yang, Dachun; Yuan, Wen J. Geom. Anal. 28 (2018), no. 4, 2961–2983. 

●   Local potential operator and uniform resolvent estimate for generalized Schrödinger operator in Orlicz spaces, with Dou, Xiaoshen; Gao, Mengyao; Jin, Yongyang Math. Nachr. 296 (2023), no. 10, 4533–4558. 

●   Boundedness of fractional integrals on weighted Orlicz-Hardy spaces, with Chang, Der-Chen; Yang, Dachun; Yang, Sibei Math. Methods Appl. Sci. 36 (2013), no. 15, 2069–2085. 

●   Real interpolation of weighted tent spaces, with Chang, Der-Chen; Fu, Zunwei; Yang, Dachun Appl. Anal. 95 (2016), no. 11, 2415–2443. 

●   Bilinear decompositions of products of local Hardy and Lipschitz or BMO spaces through wavelets, with Ky, Luong Dang; Yang, Dachun Commun. Contemp. Math. 20 (2018), no. 3, 1750025, 30 pp.

3. 热核及其相关问题。 热核是现代分析与几何中的基本工具，美国数学家、布尔巴基学派成员 S. Lang 教授曾评价说：热核在数学中无处不在（ubiquitous）。 在现代几何和分析理论中，热核往往成为连接底空间几何和其上分析结构的桥梁，由此为在不同几何背景下搭建分析结构提供重要工具。近年来，开始关注这一方向的发展，目前在这一方向发表的论文如下。

●  Heat kernels and Besov spaces associated with second order divergence form elliptic operators, with Grigor'yan, Alexander J. Fourier Anal. Appl. 26 (2020), no. 1, Paper No. 3. 

●  Hardy's inequality and Green function on metric measure spaces, with  Grigor'yan, Alexander; Liu, Liguang J. Funct. Anal. 281 (2021), no. 3, Paper No. 109020, 78 pp. 

●  Heat kernels and Besov spaces on metric measure spaces, with Grigor'yan, Alexander J. Anal. Math. 148 (2022), no. 2, 637–680. 

●  Characterizations of weighted Hardy-Rellich inequalities and their applications, with Jin, Yongyang; Shen, Shoufeng; Wu, Yurong Math. Inequal. Appl. 23 (2020), no. 3, 873–893.

主要主持项目

1.算子扰动下的函数空间理论及其应用，浙江省自然科学金杰青项目，2022-2024.

2.度量测度空间上相关于狄氏型的函数空间实变理论及其应用, 国家自然科学基金面上项目, 2021-2024.

3.相关于高阶微分算子的函数空间实变理论及其应用, 国家自然科学基金青年科学基金项目, 2016-2018.

目前指导博士生（学术型）1人（邓超红），协助指导博士生1人（唐黎）。指导硕士生（学术型）4人（王超、俞卓楠、黄俊博、王广正），已毕业2人（豆孝申[金融]、李媛媛 [教育]、高梦瑶 [教育]、张旗顺 [读博]）。

有意向报考本方向的同学请关注：我的主要研究方向为调和分析及其相关应用，关于这个方向的介绍可以参看主页其它板块的介绍。这个方向属于基础数学核心领域，需要在学习之前具备一定的分析基础，欢迎对基础数学感兴趣，愿意静下心来认真学习数学的同学。如果对这些不感兴趣，请谨慎报考，以免来了之后也不适应。学生在硕士阶段毕业后主要就业方向为继续攻读博士和进入教育行业。

下面为进入本研究方向的大致研究路径：

一、本科阶段建议阅读书目

1.      《实变函数论》                    周民强

2.      《泛函分析》上册                   张恭庆

3.      《点集拓扑讲义》                   熊金城

4.      《傅立叶分析导论》                  Stein

二、硕士低年级建议阅读书目

1.      《实分析》                       Folland

2.      《泛函分析》                     杨大春、袁文

3.      《调和分析》                     林钦诚

4.      《Fourier分析》                   Javier Duoandikoetxea

5.      《经典傅里叶分析》                   Grafakos

6.      《实Hp空间四讲》                         陆善镇

三、后续建议阅读书目：

1.      《Harmonic Analysis》                                    Stein

2.      《Measrure theory and fine properties of functions》                         Evans

3.      《现代傅里叶分析》                                     Grafakos

4.      《Sobolev space》                                       Adams

5.      《Theory of function space》                                 Triebel

6.      《调和分析及其在偏微分方程中的应用》                                     苗长兴